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更新不定期日記

管理人の気まぐれで更新される正直どうでもいい更新不定期日記。

無題

n番目のフィボナッチ数をF[n]と表すとして
f(x)=Σ [k=0 to ∞] F[k]x^k とおき、
f(x)を閉じた式で表して、さらに
その式を無限級数で表したら一般項が出るらしい

・・・って日本語でおk
n番目のフィボナッチ数F[n]は
F[0]=0
F[1]=1
F[n+2]=F[n]+F[n+1] (n≧0)で定義される

x^0f(x)=F[0]x^0+F[1]x^1+F[2]x^2+F[3]x^3+F[4]x^4+...+F[k+2]+...
x^1f(x)=      F[0]x^1+F[1]x^2+F[2]x^3+F[3]x^4+...+F[k+1]+...
x^2f(x)=           F[0]x^2+F[1]x^3+F[2]x^4+...+F[k]+...

F[n+2]-F[n+1]-F[n]=0に着目して

{x^0-x^1-x^2}f(x)=F[0]x^0+F[1]x^1-F[0]x^1+(F[2]-F[1]-F[0])x^2+...(F[k+2]-F[k+1]-F[k])x^2+...

となるので結局{x^0-x^1-x^2}f(x)=F[0]x^0+F[1]x^1-F[0]x^1
すなわちf(x)=x/(1-x-x^2)となるそうです
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